==== Trabalho 1 (Heaps k-ários e algoritmo de Dijkstra) ====

Entrega: 18/08/2021

=== Objetivos ===

  * Implementar um heap k-ário.
  * Implementar o algoritmo de Dijkstra usando o heap implementado.
  * Determinar o valor de k tal que o algoritmo de Dijkstra com um heap k-ário tem o melhor desempenho.
  * Comparar a complexidade teórica pessimista com a complexidade real. Em particular verificar que a complexidade real respeita o limite teórico.
  * Avaliar o escalonamento do algoritmo Dijkstra.

=== Casos de teste ===

  * Verificação da complexidade do Dijkstra: usar o gerador de casos de testes abaixo. 
  * Verificação do escalonamento: o caso de teste é o rede de trânsito de New York e dos EUA (distance), que pode ser baixado na [[http://www.dis.uniroma1.it/~challenge9/download.shtml|página do DIMACS challenge]].
  * Para testar em geral: Gerar um número suficiente (>30) de pares aleatórias de vértices origem e destino e medir o tempo de execução e o número de operações "insert", "deletemin" e "decreasekey".
  * Exemplo de um {{:inf05016:testplan20211.pdf|plano de teste}}.

=== Observações ===

  * Como o grafo possui 23,947,347 vértices é necessário usar uma representação esparsa. Uma matriz de adjacência, em particular, não serve.

=== Convenções ===

    * As implementações do algoritmo de Dijkstra devem aceitar um grafo no formato da DIMACS challenge na entrada padrão (stdin), os índices de dois vértices origem e destino na linha de comando e imprimir o valor do caminho mais curto na saída padrão (stdout). Caso não existo caminho entre os dois vértices imprimir "inf". Exemplo (em UNIX)

  > ./dijkstra 1 2 < NY.gr
  803

=== Entregáveis ===

    * Um relatorio explicando a) possíveis detalhes relevantes da implementação, b) o ambiente de teste, c) o resultado dos experimentos, e d) uma análise
    * O código fonte da implementação
    * Arquivos csv com todos dados experimentais

=== Materiais ===

==== Gerador de casos de teste ====
<code c++>
/**
 * \file gen.cpp
 *   \author Marcus Ritt <mrpritt@inf.ufrgs.br> 
 *   \version $Id: emacs 2872 2009-01-31 01:46:50Z ritt $
 *   \date Time-stamp: <2011-08-24 15:17:49 ritt>
 */

#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;

#include <boost/graph/adjacency_list.hpp>
#include <boost/graph/connected_components.hpp>
#include <boost/graph/dijkstra_shortest_paths.hpp>
using namespace boost;

// information stored in vertices
struct VertexInformation {
  unsigned component;
};

// information stored in edges
struct EdgeInformation {
  unsigned weight;
};

const unsigned maxweight = 1000;

// graph is an adjacency list represented by vectors
typedef adjacency_list<vecS, vecS, directedS,VertexInformation,EdgeInformation> Graph;
typedef graph_traits<Graph>::vertex_descriptor Node;
typedef graph_traits <Graph>::edge_descriptor Edge;

int main(int argc, char *argv[]) {
  assert(argc == 3);
  unsigned n = atoi(argv[1]);
  double p = atof(argv[2]);

  srand48(time(0));
  
  // (1) generate random graph
  Graph g;
  
  for(unsigned i=0; i<n; i++)
    add_vertex(g);
  
  for(unsigned i=0; i<n; i++)
    for(unsigned j=0; j<n; j++)
      if (i != j && drand48() < p) {
        Edge e = add_edge(i,j,g).first;
	g[e].weight = lrand48()%maxweight;
      }

  
  // (2) print example path
  unsigned src = lrand48()%num_vertices(g);
  unsigned dst = lrand48()%num_vertices(g);
  
  vector<unsigned> dist(n);
  vector<unsigned> pred(n);
  dijkstra_shortest_paths(g,src,weight_map(get(&EdgeInformation::weight,g)).distance_map(&dist[0]).predecessor_map(&pred[0]));
  cerr << "Distance between " << src+1 << " and " << dst+1 << " is " << dist[dst] << endl;
  
  // (3) print out in DIMACS challenge format
  cout << "p sp " << num_vertices(g) << " " << num_edges(g) << endl;
  graph_traits<Graph>::edge_iterator eb, ee;
  for ( tie(eb, ee)=edges(g); eb != ee; eb++)
    cout << "a " << source(*eb,g)+1 << " " << target(*eb, g)+1 << " " << g[*eb].weight << endl;
}
</code>

==== Leitura (Exemplo) ====
<code c++>
void read_dimacs(std::istream& in, unsigned& n, unsigned& m, MyGraph& a) {
  std::string line="", dummy;
  while (line.substr(0,4) != "p sp")
    getline(in,line);

  // (1) get nodes and edges
  std::stringstream linestr;
  linestr.str(line);
  linestr >> dummy >> dummy >> n >> m;
  a.resize(n);
  unsigned i=0;
  while (i<m) {
    getline(in,line);
    if (line.substr(0,2) == "a ") {
      std::stringstream arc(line);
      unsigned u,v,w;
      char ac;
      arc >> ac >> u >> v >> w;
      // processar arco (u,v) com peso w
      i++;
    }
  }
}
</code>

==== Trabalho 2 (Arborescências) ====

Entrega: 08/09/2021

=== Objetivos ===

  * Estudar e implementar um algoritmo para encontrar uma arborescência de menor custo
  * Documentar a implementação, em particular as estruturas de dados para a representação do problema.
  * Conduzir testes que avaliam o desempenho do algoritmo em termos de qualidade e tempo.

=== Casos de teste ===

  * 180 [[https://www.inf.ufrgs.br/~mrpritt/aa/mca-inst.tar|instâncias de teste]] (450MB).

=== Convenções ===

    * A implementação deve aceitar uma instância na entrada padrão (stdin) e imprimir o custo da arborescência encontrada na saída padrão (stdout).

=== Entregáveis ===

    * Um relatorio explicando a) possíveis detalhes relevantes da implementação, b) o ambiente de teste, c) o resultado dos experimentos, e d) uma análise
    * O código fonte da implementação
    * Arquivos csv com todos dados experimentais

=== Validação ==
<code c++>
#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;

#include <lemon/smart_graph.h>
#include <lemon/min_cost_arborescence.h>
using namespace lemon;

int main() {
  // (0) basic definitions
  typedef SmartDigraph Digraph;
  typedef Digraph::ArcMap<double> CostMap;
  DIGRAPH_TYPEDEFS(Digraph);

  // (1) read the graph from stdin
  Digraph g;
  CostMap cost(g);

  int n, n_, m = 0;
  cin >> n >> n_;

  vector<Digraph::Node> ni(n);
  for(auto i=0u; i!=n; ++i)
    ni[i]= g.addNode();

  int u, v, wgt;
  do {
    cin >> u >> v >> wgt;
    if (u==-1)
      break;
    m++;
    Digraph::Arc a = g.addArc(ni[u], ni[v]);
    cost[a]=wgt;
  } while (true);
  assert(countNodes(g)==n && countArcs(g)==m);

  // (2) find the MCA
  MinCostArborescence<Digraph, CostMap> mca(g, cost);
  mca.run(ni[0]);
  cout << n << " " << m << " " << mca.arborescenceCost() << endl;
}
</code>


=== Mais informações ===

Na [[inf05016:lab-mca|página do laboratório]] correspondente.

==== Trabalho 3 (Fluxo s-t máximo) ====

Entrega: 11/10/2021

=== Objetivos ===

  * Implementar o algoritmo de Dinitz (estratégia fluxo bloqueio) para encontrar o fluxo máximo s-t.
  * Verificar a complexidade do algoritmo experimentalmente.

=== Casos de teste ===
  * Um gerador de casos de teste em formato DIMACS em C é disponível {{http://www.inf.ufrgs.br/~mrpritt/washington.c|aqui}}.
  * Novo: Uma versão melhor do {{http://www.inf.ufrgs.br/~mrpritt/aa/new_washington_test_dir.tar.gz|gerador}}.
  * Documentação:
<code>
             To use:  cc washington.c -o gengraph
                      gengraph function arg1 arg2 arg3

             Command line arguments have the following meanings:

                      function:           index of desired graph type
                      arg1, arg2, arg3:   meanings depend on graph type
                                          (briefly listed below: see code
                                           comments for more info)

                 Mesh Graph:          1 rows  cols  maxcapacity
                 Random Level Graph:  2 rows  cols  maxcapacity
                 Random 2-Level Graph:3 rows  cols  maxcapacity
                 Matching Graph:      4 vertices  degree
                 Square Mesh:         5 side  degree  maxcapacity
                 Basic Line:          6 rows  cols  degree
                 Exponential Line:    7 rows  cols  degree
                 Double Exponential   8 rows  cols  degree
                 DinicBadCase:        9 vertices
                      (causes n augmentation phases)
                 GoldBadCase         10 vertices
                 Cheryian            11 dim1 dim2  range
                      (last 2 are bad for goldberg's algorithm)
</code>

^ No. ^ Nome ^ Parâmetros ^ Descrição ^ n ^ m ^
|   1 | Mesh | r,c | Grade, 3 viz. 1 direita | rc+2 | 3r(c-1) |
|   2 | Random level | r,c | Grade, 3 viz. rand. 1 direita | rc+2 | 3r(c-1) |
|   3 | Random 2-level | r,c | Grade, 3 viz. rand. 2 direita | rc+2 | 3r(c-1) |
|   4 | Matching | n,d | Bipart. n-n, d viz. rand. | 2n+2 | n(d+2) |
|   5 | Square Mesh | d,D | Quadr. mesh dxd, grau D | d*d+2 | (d-1)dD+2d |
|   6 | BasicLine | n,m,D | Linha, grau D| nm+2 | nmD+2m |
|   7 | ExpLine | n,m,D | Linha, grau D | nm+2 | nmD+2m |
|   8 | DExpLine | n,m,D | Linha, grau D | nm+2 | nmD+2m |
|   9 | DinicBad | n | Linha | n | 2n-3|
|  10 | GoldBad | n | | 3n+3 | 4n+1 |

=== Convenções ===
  * As implementações do algoritmo devem aceitar uma instância no formato {{http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/DIMACS_maxf.htm|DIMACS}} na entrada padrão (stdin) e imprimir o valor do fluxo máximo na saída padrão (stdout).

=== Verificação  ===
  * O seguinte código calcula o fluxo máximo. Para compilar: Usar C++ e {{http://www.boost.org|Boost}}.
<code c++>
/**
 * \file maxflow.cpp
 *   \author Marcus Ritt <mrpritt@inf.ufrgs.br> 
 *   \version $Id: emacs 2872 2009-01-31 01:46:50Z ritt $
 *   \date Time-stamp: <2015-09-22 21:17:31 ritt>
 *
 * Read a maximum flow problem in DIMACS format and output the maximum flow.
 *
 */
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

#include <boost/graph/adjacency_list.hpp>
#include <boost/graph/read_dimacs.hpp>
#include <boost/graph/push_relabel_max_flow.hpp>
using namespace boost;

// graph element descriptors
typedef adjacency_list_traits<vecS,vecS,directedS>::vertex_descriptor DiNode;
typedef adjacency_list_traits<vecS,vecS,directedS>::edge_descriptor Edge;

// a directed graph with reverse edges
struct VertexInformation {};
typedef unsigned Capacity;
struct EdgeInformation {
  Capacity edge_capacity;
  Capacity edge_residual_capacity;
  Edge reverse_edge;
};

typedef adjacency_list<vecS,vecS,directedS,VertexInformation,EdgeInformation> DiGraph;

int main(int argc, char *argv[]) {
  // (0) read graph

  DiGraph g;
  DiNode s,t;
  
  read_dimacs_max_flow(g,
                       get(&EdgeInformation::edge_capacity,g),
                       get(&EdgeInformation::reverse_edge,g),
                       s, t);
  
  // (1) determine maximum flow
  cout << push_relabel_max_flow(g, s, t,
                                get(&EdgeInformation::edge_capacity,g),
                                get(&EdgeInformation::edge_residual_capacity,g),
                                get(&EdgeInformation::reverse_edge,g),
                                get(boost::vertex_index, g));    
}
</code>

==== Trabalho 4 (Emparelhamentos) ====

Entrega: 03/11/2021

=== Objetivos ===

  * Implementar o algoritmo Húngaro que resolve o problema do emparelhamento de maior peso em grafos bi-partidos ponderados.
  * Documentar a implementação, em particular as estruturas de dados para a representação do problema.
  * Conduzir testes, que demonstram que a complexidade do algoritmo é O(mn^2), usando Bellman-Ford para busca de caminhos aumentantes.

=== Casos de teste ===

  * Gerar grafos bi-partidos completos com pesos aleatórios escolhidos uniformemente no intervalo [0,n^2].
  * {{http://www.inf.ufrgs.br/~mrpritt/aa/data.tgz|Casos de teste com soluções}} para a emparelhamento ponderado perfeito mínimo (para comparar com emparelhamento perfeito máximo: multiplicar os valores por -1). O formato corresponde com o que está descrito nas convenções abaixo com a última linha informando o peso total da solução correta. 

=== Convenções ===
  * As implementações do algoritmo devem aceitar um grafo bi-partido não-direcionado completo na entrada padrão (stdin) e imprimir o maior peso de um emparelhamento na saída padrão (stdout). O formato é
<code>
n
p11 p12 p13 ... p1n
p21 p22 p23 ... p2n
...
pn1 pn2 pn3 ... pnn
</code>
com pij o peso entre vértice i do primeiro parte do grafo e vértice j do segundo parte.

==== Trabalho 5 (Teste de primalidade) ====

Entrega: 15/11/2021

=== Objetivos ===

  * Implementar o teste de primalidade de Miller & Rabin
  * Analisar a complexidade do algoritmo em função de log_2(n) experimentalmente.
  * Analisar a probabilidade de responder erradamente "sim" experimentalmente.

=== Casos de teste ===

  * Números inteiros positivos aleatórios.

=== Convenções ===

  * As implementações do algoritmo devem ler um número decimal com até 1000 dígitos da entrada padrão e imprimir "s" na saída padrão caso o número é considerado primo e "n" caso contrário.

=== Dicas ===

  * Usa a biblioteca {{http://gmplib.org|GNU MP}} para representar números grandes. Ela tem interfaces para {{http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_Multiple_Precision_Arithmetic_Library#Language_bindings|diversas linguagens}} de programação. Um exemplo em C++:
  <code c++>
#include <iostream>
using namespace std;

#include <gmpxx.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
  mpz_class a;
  cin >> a;
  cout << "O quadrado de " << a << " é " << a*a << endl;
}
</code>